Глава I. Общие сведения о космических аппаратах и ракетах

В настоящее время созданы первые космические аппараты. Запуск их осуществляется с помощью многоступенчатых космических ракет, одним из видов которых являются ракеты-носители искусственных спутников.

В дальнейшем многообразие космических аппаратов будет непрерывно увеличиваться. Появятся космические аппараты, предназначенные для длительных полетов человека, искусственные спутники Луны и планет, постоянно существующие спутники-станции, космические корабли для полетов к другим планетам. Будут созданы новые типы космических ракет, в том числе ракеты с двигателями, работающими на ядерной энергии.

Сегодня невозможно предвосхитить все особенности устройства и конструкции космических аппаратов будущего, хотя в современной технической литературе встречается немало их описаний и проектов. Однако существует ряд вопросов и проблем, являющихся общими для всех космических аппаратов. К ним относится проблема придания космическим аппаратам необходимой скорости и точного выведения их на заданные орбиты, проблемы поддержания необходимого теплового режима и обеспечения энергией бортовой аппаратуры, измерения орбиты и передачи информации на расстояния, исчисляемые десятками и сотнями миллионов километров, вопросы герметизации, метеорной опасности, влияния космических излучений и ряд других.

В настоящей главе излагаются общие сведения о космических аппаратах и ракетах, законах их движения и особенностях устройства. Рассматриваются основные проблемы, связанные с длительным пребыванием космических аппаратов в межпланетном пространстве. Поясняется значение искусственных спутников для решения проблемы межпланетных полетов.

Законы движения космических аппаратов

Полет любого космического аппарата обычно разделяется на два основных этапа. На первом этапе космическая ракета, или ракета-носитель, сообщает ему необходимую скорость в заданном направлении. На втором этапе движение космического аппарата по определенной орбите происходит по инерции, при действии на него сил тяготения окружающих небесных тел. Соответственно траектория полета космического аппарата имеет два основных участка - участок выведения и орбитальный участок.

Для современных космических ракет, двигатели которых работают на химическом топливе, протяженность участка выведения обычно незначительна по сравнению с протяженностью орбитального участка. Поэтому при рассмотрении законов движения космических аппаратов мы будем интересоваться в основном вторым этапом полета - движением космических аппаратов после придания им необходимой скорости.

Исключением являются космические аппараты, разгон которых происходит с весьма малыми ускорениями, и, в частности, аппараты с так называемыми электрореактивными двигателями, проекты которых обсуждаются в технической литературе. У аппаратов этого типа двигатели работают на большей части траектории полета.

Прежде чем приступить к непосредственному рассмотрению законов движения космических аппаратов, остановимся вкратце на основных характеристиках нашей солнечной системы. Солнечная система (рис. 1) состоит из центрального небесного тела - Солнца, вокруг которого движутся по замкнутым орбитам девять больших планет и ряд малых небесных тел (малые планеты, астероиды, кометы, потоки метеорных тел).

Рис. 1. Орбиты планет солнечной системы

Основные данные о планетах солнечной системы приведены в табл. 1. В табл. 2 содержатся данные, относящиеся к Луне.

Таблица 1. Основные данные о планетах солнечной системы

Как видно из данных табл. 1, все планеты, кроме Плутона, имеют орбиты с небольшим эксцентриситетом - близкие к круговым, причем плоскости их орбит примерно совпадают. Движение планет происходит в одном направлении - против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны Полярной звезды. У ряда планет имеются естественные спутники. К таким планетам относится и Земля, естественным спутником которой является Луна. Расстояния планет от Солнца в тысячи и десятки тысяч раз превышают их диаметры. Минимальные расстояния от Земли до ближайших планет Венеры и Марса составляют соответственно 39 и 56 млн.км.

Масса Солнца значительно больше массы планет. Она в тысячу раз превышает массу Юпитера и в 332 тыс. раз массу Земли.

На космический аппарат, как и на любое другое материальное тело, находящееся в солнечной системе, действуют силы тяготения Солнца, планет и других небесных тел. Величина силы притяжения космического аппарата к каждому из этих небесных тел зависит от расстояния до данного тела и его массы.

Как правило, одна из всех действующих на космический аппарат гравитационных сил является доминирующей. Если космический аппарат находится вблизи от одной из планет, то основной гравитационной силой, действующей на него, является сила притяжения к этой планете. Если же космический аппарат находится в межпланетном пространстве на достаточном удалении от отдельных планет, то основной действующей на него силой является сила притяжения к Солнцу.

В небесной механике существует понятие "сфера действия" небесного тела, определяемое следующим образом. Представим себе, что мы имеем два небесных тела - центральное тело большой массы М, например Солнце, и обращающееся вокруг него тело (меньшей массы m, например Землю. Предположим, что в поле тяготения этих тел находится третье тело, масса которого μ настолько мала, что практически не влияет на движение первых двух тел. Движение этого тела (например, космического аппарата) может рассматриваться как в системе координат, связанной с Солнцем,- гелиоцентрической системе, так и в системе координат, связанной с Землей, но не участвующей в ее суточном вращении,- геоцентрической системе^*.

^* (Обе эти системы совершают только поступательное движение и, следовательно, являются инерциальными.)

Сферой действия Земли по отношению к Солнцу называется область вокруг Земли, в которой отношение силы, с которой Солнце возмущает геоцентрическое движение тела μ, к силе притяжения этого тела Землей меньше, чем отношение силы, с которой Земля возмущает гелиоцентрическое движение тела μ к силе притяжения его Солнцем. т. е. в пределах сферы действия выполняется условие

где - соответственно возмущающая сила притяжения к Солнцу и сила притяжения к Земле при рассмотрении движения тела μ в геоцентрической системе;

- соответственно возмущающая сила притяжения к Земле и сила притяжения к Солнцу при рассмотрении движения тела μ в гелиоцентрической системе.

Аналогично может быть определена сфера действия любого небесного тела по отношению к соответствующему центральному телу, например, сфера действия Луны по отношению к Земле. Радиус сферы действия малого тела по отношению к большому телу определяется формулой:

(1.2)

где: М - масса большого тела;

m - масса малого тела;

L - расстояние между ними.

Значения радиусов сфер действия планет солнечной системы приведены в табл. 3. Радиус сферы действия Луны по отношению к Земле составляет около 66 тыс. км.

В пределах сферы действия планеты характер движения космического аппарата определяется в основном полем ее тяготения. Поля тяготения других небесных тел, в том числе и Солнца, создают малые возмущения этого основного движения космического аппарата и в первом приближении могут не учитываться.

Соответственно вне сфер действия планет характер движения космического аппарата определяется в основном полем тяготения Солнца. Поля тяготения планет в этом случае создают малые возмущения гелиоцентрического движения космического аппарата. Таким образом, при изучении законов движения космических аппаратов следует в первую очередь рассмотреть задачу о движении их в поле тяготения одного небесного тела - в центральном поле тяготения.

Движение в центральном поле тяготения

В первом приближении можно считать, что Земля, как и другие небесные тела - Солнце и планеты, имеет форму шара и сферически симметричное распределение плотности. Поле тяготения при таком условии называется центральным, поскольку оно эквивалентно полю тяготения материальной точки, имеющей массу, равную массе данного небесного тела, и расположенной в его центре.

Представим себе, что в центральном поле тяготения находится космический аппарат, имеющий в начальный момент времени скорость V₀ (рис. 2). Дальнейшее движение космического аппарата по инерции будет происходить в плоскости, проходящей через начальное его положение С, центр тяготения Ο и вектор скорости .

Рис. 2. Космический аппарат в центральном поле тяготения: V₀-начальная скорость космического аппарата; F - сила притяжения его к центральному телу

Удобно изучать это движение в полярной системе координат, имеющей центр в точке О. Положение космического аппарата в этой координатной системе характеризуется величиной радиуса r и углом φ - по отношению к некоторому неизменному направлению, принятому за начало угловых координат 00'.

Единственной силой, действующей на космический аппарат, является сила притяжения его к центральному телу О, равная:

(1.3)

где:

f - гравитационная постоянная;

М - масса центрального тела;

μ - масса космического аппарата;

К = fМ - постоянная поля тяготения.

Для Земли K_⊗ = 3,986⋅10⁵км³/сек², для Луны , для Солнца .

Определим потенциальную энергию космического аппарата, находящегося на расстоянии r от центра тяготения, предположив, что поверхность нулевого потенциала расположена в бесконечности.

Изменение потенциальной энергии при увеличении расстояния r на dr составляет:

Интегрируя в пределах от ∞ до r, получим

(1.4)

Кинетическая энергия космического аппарата, движущегося со скоростью V, равна:

и, следовательно, его полная энергия составляет:

(1.5)

В соответствии с законом сохранения энергии величина полной энергии в процессе движения остается постоянной.

Тогда, если в некоторый момент времени t = t₀, радиус и скорость имели начальные значения r = r₀ и V = V₀, то

(1.6)

откуда, выразив величину скорости через производные полярных координат по времени , получим:

(1.7)

Второе уравнение движения может быть получено из условия, что момент количества движения космического аппарата относительно центрального тела в процессе движения остается величиной постоянной:

(1.8)

Здесь - момент количества движения.

Интегрирование этого уравнения непосредственно приводит ко второму закону Кеплера:

(1.9)

где С - так называемая постоянная закона площадей;

  - секториальная скорость - площадь,

описываемая радиусом-вектором r в плоскости орбиты в единицу времени. Принимая во внимание начальные условия: r = r₀, V = V₀, = ₀ при t = t₀, можем представить это уравнение в виде:

(1.10)

где - угол наклона вектора скорости к плоскости, перпендикулярной радиусу-вектору r (т. е. к горизонту). Уравнения (1.7) и (1.10) являются уравнениями движения космического аппарата как материальной точки в центральном поле тяготения. Решая их совместно и исключив время t, получим уравнение орбиты космического аппарата (см. прилож. 1):

(1.11)

где

(1.12)

(1.13)

φ₀ - некоторое значение угла φ, включающее в себя постоянную интегрирования.

Из формулы (1.13) следует, что орбита космического аппарата, движущегося в центральном поле тяготения, в полярной системе координат представляет кривую второго порядка, один из фокусов которой расположен в начале координат.

Рис. 3. Типы орбит: а - эллиптическая орбита; б - параболическая орбита; в - гиперболическая орбита

Коэффициент р - параметр, е - эксцентриситет кривой.

При е < 1 радиус-вектор r остается конечным для всех значений φ, и орбита является замкнутой кривой - эллипсом (рис. 3,а). В частном случае, при е = 0, этот эллипс превращается в окружность. При е = 1 радиус-вектор г становится бесконечным при φ - φ0 = π. Орбита в этом случае является незамкнутой кривой-параболой (рис. 3,6). Наконец, при е > 1 радиус-вектор r становится бесконечным при φ - φ₀ = ± arc cos (-1/е). В этом случае орбита является гиперболой (рис. 3, в).

Характер орбиты, как это видно из формулы (1.13), зависит от соотношения начальной скорости V₀ и величины . Эта величина носит название параболической или второй космической скорости:

(1.14)

Если начальная скорость космического аппарата V₀ < V _пар, то движение его происходит по эллиптической орбите, если V₀ = V_пар - по параболической, а если V₀ > V_пар - по гиперболической орбите. Значение параболической скорости зависит исключительно от массы центрального тела М (так как К = fМ) и от расстояния до центра тяготения r₀.

Для Земли на уровне ее поверхности параболическая скорость равна V_пар = 11,19 км/сек. С увеличением высоты значение параболической скорости уменьшается (табл. 4). Значения параболической скорости для других планет солнечной системы приведены в табл. 5.

При скорости, равной параболической, космический аппарат приобретает кинетическую энергию, достаточную для удаления его в бесконечность, по отношению к центральному телу. Рассмотрим теперь, при каких условиях возможно движение космического аппарата по круговой орбите.

При е = 0 уравнение (1.11) примет вид: r = р = const. Одновременно из формулы (1.13) получим:

(1.15)

откуда следует, что скорость V₀ при е = 0 может иметь вещественное значение только при ₀ = 0. Это означает, что движение космического аппарата по круговой орбите возможно лишь при условии, что направление вектора начальной скорости перпендикулярно радиусу-вектору r, т. е. горизонтально.

Скорость движения космического аппарата в этом случае:

(1.16)

носит название круговой или первой космической скорости. Значения параболической и круговой скоростей связаны между собой однозначно:

(1.17)

Скорость космического аппарата в любой точке его орбиты можно определить, исходя из условий сохранения его полной энергии (1.6):

(1.18)

где r - радиус-вектор, соответствующий данной точке.

Рассмотрим более подробно эллиптические орбиты. Схема орбиты такого типа дана на рис. 4.

Рис. 4. Эллиптическая орбита; О - центр тяготения; r и φ- координаты космического аппарата в полярной системе; П - точка перигея; А - точка апогея; r_П - перигейное расстояние; r_A- апогейное расстояние; а - большая полуось орбиты

Для орбиты космического аппарата, движущегося вокруг Земли, точка A, соответствующая минимальному значению r, носит название перигея, а точка А, соответствующая максимальному значению r, - апогея. Для орбиты космического аппарата, или какого-либо небедного тела (планеты), движущегося вокруг Солнца, соответствующие точки носят название перигелия и афелия.

Как видно из формулы (1.11), минимальное и максимальное значения г составляют:

(1.19)

При этом точки П и А диаметрально противоположны, поскольку значения угла φ для этих точек различаются между собой на φ. Линия AП, называемая линией апсид, является большой осью эллипса.

Сумма r_П и r_А равна большой оси эллипса. Следовательно, величина большой полуоси эллиптической орбиты

(1.20)

Учитывая выражения (1.19), получим

(1.21)

или р = а(1 - е²).

Откуда, принимая во внимание выражения (1.19), следует:

(1.22)

Исключая из формулы (1.22) а, можно получить также зависимость е от r_П и r_A:

(1.23)

Выразим теперь основные параметры эллиптической орбиты в зависимости от скорости в перигее V_П и перигейного расстояния r_П.