Он родился в 1911 году, 29 января по старому стилю, в Риге, в многодетной семье генерал-майора инженерно-технической службы, профессора Всеволода Михайловича Келдыша. Традиции профессорской семьи были заложены его дедами: по линии матери – полным генералом от инфантерии (пехоты) Александром Николаевичем Скворцовым и по линии отца – Михаилом Фомичом Келдышем, который окончил духовную семинарию, но затем избрал медицинскую стезю и дослужился до генеральского чина.

В дальнейшем ученый не скрывал своего дворянского происхождения – на вопрос анкеты о социальном происхождении всегда отвечал – «из дворян».

В 1915 г., когда к Риге подошли немецкие войска, семье пришлось эвакуироваться в Москву.

Склонность к математике у Мстислава проявилась еще в 7-м или 8-м классе. Уже тогда учителя отмечали его незаурядные способности к точным наукам. В 1927 г. вслед за своей старшей сестрой Людмилой Мстислав поступил на физико-математический факультет МГУ. Кстати, Людмила Всеволодовна Келдыш впоследствии также стала выдающимся математиком, доктором физико-математических наук.

В период учебы в университете научным руководителем Мстислава Всеволодовича был Михаил Алексеевич Лаврентьев, специалист по функциям комплексного переменного, применявший их для решения задач гидро- и аэродинамики. С работами по исследованию аэродинамики во многом связано то, что Келдыш, окончив университет в 1931 г., поступил на работу в ЦАГИ. Там Мстислав Всеволодович занялся созданием математических моделей новых феноменов, возникающих при различных режимах полета. В 1942 г. за решение проблемы флаттера Келдышу была присуждена Сталинская премия.

Еще в середине тридцатых годов академик Иван Матвеевич Виноградов пригласил Келдыша в докторантуру Математического института имени В.А.Стеклова АН СССР (МИАН). Ученая степень кандидата физико-математических наук была присвоена Мстиславу Всеволодовичу без защиты диссертации в 1935 г., а в 1937 г. он получил степень кандидата технических наук и звание профессора по специальности «аэродинамика». Через три года после получения кандидатской степени, в 1938 г., Келдыш защитил докторскую диссертацию на тему «О представлении рядами полиномов функций комплексного переменного и гармонических функций».

Во время Великой Отечественной войны он работал на авиационных заводах: как начальник отдела динамической прочности ЦАГИ курировал проблему вибраций в самолетостроении. К исходу войны Мстислав Всеволодович, продолжая работать в ЦАГИ, получил возможность вновь вернуться к активной научной деятельности в МИАН, где в апреле 1944 г. был создан отдел механики, которым ученый заведовал до 1953 г. Со временем главными задачами отдела стали ракетодинамика и прикладная небесная механика.

В 1946 г. Сталинская премия была присуждена Мстиславу Всеволодовичу вторично за решение проблемы шимми – устойчивости переднего колеса трехколесного шасси самолета.

Работы Келдыша по математике и механике середины 1940-х годов получили признание коллег и ученых, а их автору принесли известность в научном мире. В 1943 г. Келдыш избирается членом-корреспондентом АН СССР, а в 1946 г., в тридцатипятилетнем (!) возрасте – действительным членом Академии.

В том же году Мстислав Всеволодович был назначен начальником НИИ-1 Минавиапрома (бывший Реактивный научно-исследовательский институт, ныне – Исследовательский центр имени М.В.Келдыша) и оставался его научным руководителем до 1961 г.

Еще до запуска первого искусственного спутника Земли коллектив, руководимый Келдышем, получил ряд принципиально важных результатов, оказавших серьезное влияние на развитие ракетной и космической техники. В 1949–1951 гг. был выполнен цикл работ, посвященный анализу и определению оптимальных схем и характеристик составных ракет. Эти работы помогли С.П.Королёву сделать окончательный выбор схемы составной ракеты Р-7. В 1953 г. в НИИ-1 был впервые предложен баллистический спуск космического аппарата с орбиты на Землю и показана возможность его использования при пилотируемых полетах.

В 1954 г. Келдыш совместно с С.П.Королёвым и М.К.Тихонравовым выдвинул предложение о создании искусственного спутника Земли и непосредственно участвовал в подготовке докладной записки правительству на эту тему.

В 1956 г. Мстислав Всеволодович был назначен председателем специальной комиссии Президиума АН СССР по ИСЗ (комиссия по объекту «Д», ставшему впоследствии третьим советским спутником).

Занимался Мстислав Всеволодович и решением «атомной проблемы». Признанием заслуг ученого в этой области явилось присвоение в 1956 г. звания Героя Социалистического Труда, а в 1957 г. – присуждение Ленинской премии.

В 1953 г. Келдыш организовал Отделение прикладной математики, формально являвшееся подразделением МИАНа, а фактически – отдельным институтом (будущий Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша).

В 1958 г. решением ЦК КПСС и СМ СССР М.В.Келдыш был назначен председателем Межведомственного совета по космическим исследованиям при Академии наук. Он возглавил работы по комплексному баллистическому проектированию космических полетов к Луне, Марсу и Венере. Первоначально главные усилия были направлены на решение задачи достижения Луны и исследования окололунного пространства. Соответствующие работы были проведены в сжатые сроки под общим руководством Мстислава Всеволодовича. Блестящим примером является выбор траекторий облета и фотографирования невидимой с Земли стороны Луны для КА «Луна-3». Здесь впервые в мировой практике был предложен и успешно реализован «гравитационный маневр» – целенаправленное изменение траектории КА в результате возмущения его движения небесным телом (в данном случае Луной).

В разгар работ по подготовке лунных экспедиций Мстислав Всеволодович Келдыш и Сергей Павлович Королёв приняли совместное решение начать баллистическое проектирование беспилотных полетов к Марсу и Венере.

Были разработаны принципиальные технические решения, сыгравшие в дальнейшем большую роль в развитии космической техники: в частности, метод разгона аппарата с промежуточным выведением на незамкнутую орбиту искусственного спутника Земли.

В 1961 г. за особые заслуги в развитии ракетной техники, в создании и успешном запуске первого в мире космического корабля («Восток») с человеком на борту Мстиславу Всеволодовичу было вторично присвоено звание Героя Социалистического Труда.

В мае 1961 г. М.В.Келдыш был избран президентом Академии наук. Работая на этом посту, он быстро находил общий язык с энтузиастами научной работы и мгновенно схватывал суть многочисленных проблем в беседах с профессорами, завлабами и ассистентами. Келдыш руководил Академией 14 лет.

Часто употреблявшееся тогда выражение «Академия стала штабом советской науки» в период его «правления» наполнилось реальным содержанием. Келдышу удалось собрать коллектив единомышленников, стараниями которого были осуществлены глубокие преобразования. Они очистили ряд важных научных направлений, в частности биологию, от «лжеучений», добились реабилитации от политических обвинений со всеми вытекающими отсюда последствиями и восстановили как научные направления генетику и кибернетику, создали условия для развития новых разделов науки – молекулярной биологии, квантовой электроники и др.

В Мстиславе Всеволодовиче сочетались качества как дерзновенного мечтателя, так и трезвого реалиста. Когда под впечатлением первых успехов космических полетов появились идеи пилотируемого полета к Марсу в ближайшее десятилетие, ученый сразу указал на нереальность подобного рода проектов по целому ряду причин и отметил, что беспилотные автоматические аппараты еще долгие годы будут основным средством исследования дальних планет. Это не мешало ему, однако, обсуждать пилотируемые полеты к планетам и подробно рассматривать различные проекты, предлагаемые к реализации в более отдаленной перспективе.

В 1971 г. за исключительные заслуги перед государством в развитии советской науки и техники, большую научную и общественную деятельность и в связи с шестидесятилетием Келдыш в третий раз был удостоен звания Героя Социалистического Труда и Золотой медали «Серп и молот».

В 1972 г. в связи с болезнью сосудов Келдыш был вынужден лечь на операцию. Ее делал известный американский хирург Майкл Дебейки. От гонорара он отказался, считая за честь оказанное ему доверие. «Келдыш – это ученый, который принадлежит не только России, но и всему миру», – сказал знаменитый врач.

К сожалению, боли в ногах не проходили и после операции, и в 1975 г. Келдыш в связи с болезнью попросил об отставке с поста Президента АН СССР.

Можно предположить, что болезнь, приведшая к раннему уходу великого ученого из жизни, была связана не только с огромными, изнурительными ежедневными нагрузками, но и с душевных дискомфортом последних лет жизни, вызванным неудовлетворенностью из-за неосуществленных замыслов.

24 июня 1978 г. тело ученого было найдено в автомобиле «Волга», находившемся в гараже на его даче. Официальное сообщение гласило, что смерть наступила в результате сердечного приступа.

М.В.Келдыш прожил 67 лет, урна с его прахом захоронена в Кремлевской стене на Красной площади в Москве.

Имя Мстислава Всеволодовича Келдыша увековечено в названиях научно-исследовательского судна, малой планеты Солнечной системы (2186 Keldysh), кратера на Луне, площади в Москве. Его имя носят бывший НИИ-1 и созданный им Институт прикладной математики. Российская академия наук вручает медаль имени М.В.Келдыша «3а выдающиеся научные работы в области прикладной математики и механики, а также теоретические исследования по освоению космического пространства».